Марафон ОРТ, день 2: как решали корни

Во второй день марафона было две задачи — про квадратные корни:

• полегче: что больше — √17 − 4 или 1/8?
• посложнее: что больше — 90 или √2024 + √2026?

В первой задаче больше 1/8, во второй — 90.

Ответы прислали 84 участника: на первую задачу — 83 ответа, на вторую — 67. Верный вариант выбран в 75 и 58 ответах. Как и вчера, обе задачи так устроены, что посчитать числа нельзя: √17, √2024, √2026 — не «круглые», калькулятора на ОРТ нет, и нужно рассуждать.

Мы прочитали каждое решение и каждую доску. Ниже — коротко, что получилось хорошо и какие ошибки встречались чаще всего. Все решения целиком, со всеми способами, — в приложениях в конце: их стоит прочитать ученикам и учителям математики.

Что получилось хорошо

Большинство нашли верный путь. Главная идея обеих задач — одна и та же: от корня, который нельзя посчитать, нужно избавиться — либо возведением в квадрат, либо умножением на сопряжённое выражение (на «такую же сумму, но с другим знаком»). Так решило большинство участников.

Лучшие ответы дня.

• Сопряжённое выражение — самый красивый приём первой задачи. √17 − 4 умножают и делят на √17 + 4 и получают ровно 1/(√17 + 4). Дальше сравнивать легко: √17 + 4 больше 8, значит дробь меньше 1/8. Один шаг — и всё доказано, без единого приближённого значения.
• «Удвоенный корень из 2025» во второй задаче. Кто-то заметил, что 90 — это 45 + 45 = √2025 + √2025, и тогда вопрос «90 или √2024 + √2026?» превращается в красивое «что больше: 2·√2025 или √2024 + √2026?». Ответ виден почти сразу.
• Пошаговые решения на кыргызском языке — снова по обеим задачам, каждый шаг подписан: что делаем и почему. Именно такое обоснование отличает решение от набора действий.
• Аккуратная прикидка. Один участник честно довёл оценку √17 до трёх знаков (√17 ≈ 4,123), сравнил 0,123 и 0,125 и сделал верный вывод. Так прикидкой пользоваться можно — когда запас честно посчитан.

Мы нашли четыре способа решить первую задачу и три — вторую. Все они разобраны в приложениях 1 и 2.

Какие ошибки встречались

Мы снова разделили ошибки на группы. За каждой стоит привычка, которую стоит исправить до ОРТ.

1. Нет хода решения. 31 ответ — 18 на первую задачу и 13 на вторую — содержат только выбранный вариант. Сюда же — доски «для галочки»: одна галочка, точка, одинокий значок корня.
По правилам марафона такой ответ получает 0 баллов — как неверный.

2. Верный ход — неверный вывод. Самая обидная ошибка дня. Участник правильно выполнил сопряжённое преобразование первой задачи, получил 1/(√17 + 4) — и на последней строке перепутал знак: написал, что это больше 1/8, и выбрал «А». Трудное было сделано, а потеряли всё на одном знаке. Совет тот же, что и вчера: перед отправкой прочитайте последнюю строку и сверьте её с выбранным вариантом.

3. Верный ответ — неверное обоснование. Во второй задаче писали: «90² = 8100, а 2024 + 2026 = 4050, поэтому 90 больше». Ответ верный, но рассуждение сломано: квадрат суммы корней — это не сумма подкоренных чисел. (√2024 + √2026)² = 4050 + 2·√(2024·2026), и именно это удвоенное произведение здесь решает всё. Пропустить его — значит сравнить не те числа. Неверный ход — 0 баллов, даже если вариант угадан.

4. Невнимательное чтение условия. Несколько участников прочитали задачу не так, как она записана: «90» приняли за 90⁹⁰, а «√2024» — за 2024²⁰²⁶, и стали сравнивать огромные степени. На ОРТ половина ошибок — это ошибки чтения, а не счёта. Сначала медленно прочитайте, что именно спрашивают.

5. Прикидка «на глаз» без запаса. В первой задаче 0,123 и 0,125 отличаются только в третьем знаке — «на глаз», до одной-двух цифр, их не различить, легко получить неверный ответ. Во второй задаче писали верные границы (√2024 < 45, √2026 — между 45 и 46) и на этом останавливались, не доводя до вывода. Оценка доказывает что-то, только если сделана в нужную сторону и с достаточным запасом.

6. «Равны» и «определить нельзя» наугад. Числа различаются — значит, ответ есть всегда; «равны» и «нельзя» без доказательства — это тоже ход решения, которого нет.

Что дальше

Задачи дня 3 откроются сегодня в 16:00. Ответы — до 10:00 завтра, разбор — в 12:00.

Баллы за каждый день мы считаем, но список с баллами всех участников опубликуем в конце марафона — вместе со списком финалистов, 3 ноября.

Глубже о корнях, сравнении чисел и сопряжённых выражениях — на платформе YourAIZone: урок «Арифметический квадратный корень». Мы только что дополнили его разбором этих двух задач — в разделах «Примеры» и «Ошибки».

Вопросы — в чате поддержки: https://t.me/+qQH9Bvn3G_tiOTEy

Приложения — для учеников и учителей математики

Приложение 1. Задача полегче: √17 − 4 и 1/8 — четыре способа

Способ 1. Сопряжённое выражение. Самый короткий и красивый.
Умножим и разделим на √17 + 4:
√17 − 4 = (√17 − 4)(√17 + 4) / (√17 + 4) = (17 − 16) / (√17 + 4) = 1 / (√17 + 4).
Теперь сравниваем 1/(√17 + 4) и 1/8. Так как 17 > 16, то √17 > 4, значит √17 + 4 > 8. У большей дроби меньше знаменатель, поэтому 1/(√17 + 4) < 1/8.
Значит, √17 − 4 < 1/8.

Способ 2. Перенести 4 и возвести в квадрат. Так решило большинство.
Прибавим 4 к обеим сторонам (разница величин не изменится): сравниваем √17 и 4 + 1/8 = 33/8.
Оба числа положительные — возводим в квадрат: 17 и (33/8)² = 1089/64 = 17,015625.
17 < 17,015625, значит √17 < 33/8, то есть √17 − 4 < 1/8.

Способ 3. Предположим, что равны.
Пусть √17 − 4 = 1/8. Тогда √17 = 33/8, значит 17 = 1089/64 = 17,0156… — а это неверно, 17 меньше. Раз левая часть на самом деле меньше, то и √17 меньше 33/8, то есть √17 − 4 < 1/8. (Это тот же способ 2, записанный как «проверка равенства».)

Способ 4. Аккуратная прикидка.
4,12² = 16,9744 < 17 и 4,124² = 17,007 > 17, поэтому 4,12 < √17 < 4,124. Тогда 0,12 < √17 − 4 < 0,124, а 1/8 = 0,125. Даже верхняя граница 0,124 меньше 0,125 — значит, √17 − 4 < 1/8.
Важно: прикидка доказывает вывод, только если граница посчитана с запасом в нужную сторону. «Примерно 0,12» без верхней границы ничего не доказывает — числа слишком близки.

Какой способ выбрать на ОРТ: способ 1 — самый быстрый и точный; способ 2 надёжен и привычен.

Приложение 2. Задача посложнее: 90 и √2024 + √2026 — три способа

Способ 1. Возвести в квадрат. Так решило большинство, и это самый надёжный путь.
Оба числа положительные, сравним их квадраты.
(√2024 + √2026)² = 2024 + 2026 + 2·√(2024·2026) = 4050 + 2·√(2024·2026), а 90² = 8100.
Сравниваем 8100 и 4050 + 2·√(2024·2026), то есть 4050 и 2·√(2024·2026), то есть 2025 и √(2024·2026).
Ключевой шаг — разность квадратов: 2024·2026 = (2025 − 1)(2025 + 1) = 2025² − 1 = 4 100 624, это меньше, чем 2025² = 4 100 625.
Значит, √(2024·2026) < 2025, поэтому (√2024 + √2026)² < 8100 = 90². Следовательно, √2024 + √2026 < 90.

Способ 2. Через 2·√2025. Самый изящный.
Заметим, что 90 = 45 + 45 = √2025 + √2025 = 2·√2025. Сравниваем √2024 + √2026 и 2·√2025, то есть √(2025 − 1) + √(2025 + 1) и 2·√2025.
Возведём обе части в квадрат: слева (2025 − 1) + (2025 + 1) + 2·√(2025² − 1) = 4050 + 2·√(2025² − 1), справа 4·2025 = 8100 = 4050 + 2·2025.
Так как √(2025² − 1) < 2025, левая часть меньше. Значит, √2024 + √2026 < 90.

Способ 3. Сопряжённое выражение — тот же приём, что и в первой задаче.
Сравним, как далеко каждый корень отстоит от 45:
45 − √2024 = (45² − 2024) / (45 + √2024) = 1 / (45 + √2024);
√2026 − 45 = (2026 − 45²) / (√2026 + 45) = 1 / (√2026 + 45).
Так как √2026 > √2024, знаменатель справа больше, поэтому √2026 − 45 < 45 − √2024.
То есть √2026 поднялся над 45 меньше, чем √2024 опустился ниже 45. Значит, их сумма меньше 45 + 45 = 90.

Какой способ выбрать на ОРТ: способ 1 — самый надёжный; способ 2 — самый короткий, если заметить, что 90 = 2·√2025.

Общий совет на обе задачи. Корень, который нельзя посчитать, убирают двумя приёмами: возвести в квадрат или умножить на сопряжённое. А рядом ищите «круглый» ориентир: √2025 = 45, 2025² − 1 — и сравнивайте в нужную сторону.