Марафон ОРТ, день 1: как решали 101 участник

В первый день марафона было две задачи:

• полегче: что больше — 27¹⁵ или 15²⁷?
• посложнее: что больше — 5⁴⁴ или 4⁵³?

В обеих больше второе число.

Решали 101 участник: на первую задачу пришло 99 ответов, на вторую — 79. Верный вариант выбран в 94 и 74 ответах. Это хороший результат: даже «лёгкая» задача дня не примитивна — числа такие, что посчитать их невозможно, и нужно рассуждать.

Мы прочитали каждое решение и каждую доску. Ниже — коротко, что получилось хорошо и какие ошибки встречались чаще всего. Все решения целиком, с выкладками, — в приложениях в конце: их стоит прочитать ученикам и учителям математики.

Что получилось хорошо

Большинство нашли верный путь. Главная идея обеих задач — представить числа так, чтобы их стало можно сравнить: через общее основание (например, всё выразить через тройки) или через общий показатель. Так решило большинство участников.

Лучшие ответы дня.

• Пошаговые решения на кыргызском языке — по обеим задачам. Каждый шаг подписан: что делаем и почему. В одном из них автор объяснил, почему можно разделить обе части на одно число: «бул оң сан, ошондуктан барабарсыздык белгиси өзгөрбөйт» — «это положительное число, поэтому знак неравенства не меняется». Именно такое обоснование отличает решение от набора действий.
• Самое короткое решение первой задачи — в одну строку, «цепочкой неравенств». На ОРТ такой приём экономит минуты.
• Лучшая оценка во второй задаче — участник нашёл, как точно оценить «неудобное» число, и довёл решение до конца без единого приближённого значения.
• Честность к собственному правилу. Один участник придумал «лайфхак» для сравнения степеней и сразу показал, где он не работает. Знать границы своего правила — это и есть математическое мышление.

Всего мы нашли по пять способов решить каждую задачу. Все они — в приложениях 1 и 2.

Какие ошибки встречались

Мы разделили ошибки на группы. За каждой стоит привычка, которую стоит исправить до ОРТ.

1. Нет хода решения. 40 ответов — 21 на первую задачу и 19 на вторую — содержат только выбранный вариант. Сюда же мы относим доски «для галочки»: случайные линии, рисунок, не связанный с задачей, одно слово.
По правилам марафона такой ответ получает 0 баллов — как неверный.

2. Решение начато и брошено. Числа переписаны в удобном виде — и на этом всё: что больше и почему, не сказано. Тоже 0 баллов. Решение заканчивается выводом.

3. Верный ответ — неверное правило. «Больше то число, у которого больше показатель». В этой задаче правило случайно сработало, но оно неверно: 2³ = 8 меньше, чем 3² = 9, хотя показатель у 2³ больше. На ОРТ такое «правило» однажды подведёт. Неверный ход решения — 0 баллов, даже если вариант угадан.

4. Знак «=» там, где равенства нет. Мысль верная, а записана неверно: участник разделил число на другое, но вместо слов «делим на…» поставил знак равенства — и получилось неверное равенство.

Это классический случай неверного понимания знака «=»: знак равенства — не «стрелка к следующему действию», а утверждение, что слева и справа стоит одно и то же число. Подробно об этом — в нашей статье «Что значит „=“?». И это же то, о чём мы писали в посте «Знать и уметь записать»: верная мысль, записанная неверно, читается проверяющим как ошибка (https://t.me/youraizone/131).

5. Невнимательность. Описки в показателях; в последней строке знак перевёрнут, хотя выбран верный вариант; или наоборот — выкладки верные, а отмечен не тот вариант. Совет простой: перед отправкой прочитайте последнюю строку и сверьте её с выбранным вариантом. Верное решение с неверно отмеченным вариантом получает половину баллов.

6. Прикидка «на глаз». Самая поучительная группа: в ней ошибаются сильные ученики. Когда число нельзя посчитать, его оценивают — заменяют близким, удобным. Но оценка доказывает что-то, только если её сделали в нужную сторону и с достаточным запасом. Три таких случая мы подробно разобрали в приложении 3.

7. Логарифмы с десятичными значениями. Несколько участников подставили значения вроде lg 5 ≈ 0,69897. Математически это верно, но на ОРТ нет ни калькулятора, ни таблиц — такие значения взять неоткуда. Логарифмами можно решить и без таблиц — как, показано в приложении 2.

8. Личные данные в решении. В нескольких решениях написаны фамилия, имя и класс. В решении должно быть только решение. Ответы с личными данными будут удаляться вместе с участником: его данные удаляются из марафона, а сам он — из чата и канала.

9. Математика словами. «27 в степени 15 — это 3 в степени 45». Это не ошибка в рассуждении, но читается тяжело и легко путается.
Марафон — не только методическая помощь. Это подготовка к ОРТ, а ОРТ — путёвка во взрослую жизнь, где решения всё чаще пишут и проверяют в алгоритмическом, а не языковом мире. Поэтому умение записать математику стандартно, с помощью клавиатуры формул, — тоже предмет оценки, как грамотность письма в сочинении.

Что дальше

Задачи дня 2 откроются сегодня в 16:00. Ответы — до 10:00 завтра, разбор — в 12:00.

Баллы за каждый день мы считаем, но список с баллами всех участников опубликуем в конце марафона — вместе со списком финалистов, 3 ноября.

Глубже о степенях и о том, как их сравнивать, — на платформе YourAIZone: урок «Свойства степеней с целым показателем»

Вопросы — в чате поддержки: https://t.me/+qQH9Bvn3G_tiOTEy

Приложения — для учеников и учителей математики

Приложение 1. Задача полегче: 27¹⁵ и 15²⁷ — пять способов

Способ 1. Общее основание. Так решило большинство.
27 = 3³ и 15 = 3 · 5, поэтому 27¹⁵ = (3³)¹⁵ = 3⁴⁵, а 15²⁷ = (3 · 5)²⁷ = 3²⁷ · 5²⁷.
Делим оба числа на одно и то же положительное число 3²⁷ — знак сравнения от этого не меняется: остаются 3¹⁸ и 5²⁷.
Приводим к общему показателю 9: 3¹⁸ = (3²)⁹ = 9⁹, 5²⁷ = (5³)⁹ = 125⁹.
При одинаковом показателе больше то число, у которого больше основание: 9⁹ < 125⁹. Значит, 27¹⁵ < 15²⁷.

Способ 2. Общий показатель сразу.
27¹⁵ = 3⁴⁵ = (3⁵)⁹ = 243⁹, 15²⁷ = (15³)⁹ = 3375⁹. 243 < 3375, значит 27¹⁵ < 15²⁷.

Способ 3. Оценка снизу — самый быстрый на экзамене.
Заменим 15 на меньшее число 9, у которого основание — степень тройки:
15²⁷ > 9²⁷ = (3²)²⁷ = 3⁵⁴ > 3⁴⁵ = 27¹⁵.
Одна строка — и всё доказано.

Способ 4. Через частное.
27¹⁵ / 15²⁷ = 3⁴⁵ / (3²⁷ · 5²⁷) = 3¹⁸ / 5²⁷ = 9⁹ / 125⁹ < 1. Частное меньше единицы — значит, делимое меньше делителя.

Способ 5. Логарифмы — без таблиц.
27 ln 15 − 15 ln 27 = 3 (9 ln 15 − 5 ln 27) = 3 ln (15⁹ / 27⁵) = 3 ln (5⁹ / 3⁶) > 0, потому что 5⁹ > 3⁶.
Ни одного десятичного значения: логарифм здесь только переносит показатели вниз.

Про «лайфхак». Если основание и показатель меняются местами (как 9⁸ и 8⁹), часто больше число с большим показателем. Но не всегда: 2³ < 3², а 2⁴ = 4². Пользоваться таким правилом без проверки нельзя.

Какой способ выбрать на ОРТ: способ 3 — самый короткий; способы 1 и 2 надёжны и подходят всегда.

Приложение 2. Задача посложнее: 5⁴⁴ и 4⁵³ — пять способов

Способ 1. Через основание 2. Его нашли больше всего участников, и он же самый удобный на экзамене.
4⁵³ = (2²)⁵³ = 2¹⁰⁶.
Пятёрку и двойку связывает пара близких чисел: 5³ = 125 < 128 = 2⁷, а ещё 5² = 25 < 32 = 2⁵.
5⁴⁴ = (5³)¹⁴ · 5² < (2⁷)¹⁴ · 2⁵ = 2⁹⁸ · 2⁵ = 2¹⁰³ < 2¹⁰⁶ = 4⁵³.

Способ 2. Через отношение.
4⁵³ = 4⁴⁴ · 4⁹, поэтому сравниваем (5/4)⁴⁴ и 4⁹ = 2¹⁸.
Ключ: (5/4)³ = 125/64 < 2 и (5/4)² = 25/16 < 2. Тогда
(5/4)⁴⁴ = ((5/4)³)¹⁴ · (5/4)² < 2¹⁴ · 2 = 2¹⁵ < 2¹⁸.

Способ 3. Через общий показатель 9.
4⁵⁴ = (4⁶)⁹ = 4096⁹ и 5⁴⁵ = (5⁵)⁹ = 3125⁹, значит 4⁵⁴ > 5⁴⁵.
Дальше — шаг, который нельзя пропускать. Нам нужно сравнить не 4⁵⁴ и 5⁴⁵, а 4⁵³ и 5⁴⁴:
4⁵³ = 4⁵⁴ / 4 > 5⁴⁵ / 4 = 5⁴⁴ · (5/4) > 5⁴⁴.
Без этой строки решение не закончено: «отсюда видно» — не доказательство. Участник, который этот шаг выписал, сделал правильно.

Способ 4. Через степень десяти.
5⁴⁴ = 10⁴⁴ / 2⁴⁴. Умножим оба числа на 2⁴⁴ и сравним 10⁴⁴ и 2¹⁵⁰:
2¹⁵⁰ = (2¹⁰)¹⁵ = 1024¹⁵ > 1000¹⁵ = 10⁴⁵ > 10⁴⁴.

Способ 5, которого никто не применил: логарифмы без таблиц.
Сравниваем 44 · lg 5 и 53 · lg 4. Так как lg 5 = 1 − lg 2 и lg 4 = 2 lg 2, сравниваем 44 − 44 lg 2 и 106 lg 2, то есть 44 и 150 lg 2. Нужно, чтобы lg 2 > 44/150, а 44/150 < 0,3.
Это мы знаем без таблиц: 2¹⁰ = 1024 > 1000 = 10³, значит 10 · lg 2 > 3, то есть lg 2 > 0,3. Следовательно, 4⁵³ > 5⁴⁴.
Этот способ стоит знать: он показывает, что логарифм — не только таблица чисел, но и способ рассуждать. Но на экзамене быстрее и надёжнее способ 1 — в нём та же пара «1024 и 1000», только без логарифмов.

Общий совет на обе задачи. Если число нельзя посчитать, ищите знакомую пару близких степеней — 125 и 128, 1000 и 1024, 3125 и 4096 — и оценивайте в нужную сторону.

Приложение 3. Прикидка: три случая подробно

Случай 1. «4⁵ > 5⁴, значит 4⁵⁵ > 5⁴⁴, значит 4⁵³ > 5⁴⁴».
Первые два шага верны: 4⁵ = 1024 > 625 = 5⁴, и после возведения обеих частей в 11-ю степень 4⁵⁵ > 5⁴⁴.
Третий шаг не следует. 4⁵³ меньше, чем 4⁵⁵, — в 4² = 16 раз. Мы знаем, что 4⁵⁵ больше 5⁴⁴, но не знаем, во сколько раз больше. Если меньше чем в 16 раз, то 4⁵³ окажется меньше 5⁴⁴.
Чтобы вывод был доказан, нужно оценить этот запас. 4⁵⁵ / 5⁴⁴ = (1024/625)¹¹, а 1024/625 = 1,6384 — это больше 1,6. Значит, запас больше чем 1,6¹¹.
Посчитаем вручную: 1,6² = 2,56; 1,6³ = 4,096; 1,6⁶ = 4,096² = 16,777… Уже шестая степень больше 16, а одиннадцатая — тем более.
Запас больше 16 — и только теперь вывод 4⁵³ > 5⁴⁴ доказан.
Правило: если A больше B, а C меньше A, то про C и B ещё ничего не известно.

Случай 2. «Округлим 1,25 до 1,5».
Участник сравнивал 1,25⁴⁴ и 4⁹ = 262 144 и заменил 1,25 на 1,5. Это оценка сверху: 1,25⁴⁴ < 1,5⁴⁴. Она помогает, только если и 1,5⁴⁴ окажется меньше 262 144. Но 1,5⁴⁴ — больше 50 миллионов. Вывод «получится не очень большое число» неверен, и доказательства нет.
Оценка сверху должна быть достаточно точной. Подходит такая: 1,25³ = 1,953… < 2, поэтому 1,25⁴⁴ < 2¹⁵ = 32 768 < 262 144.

Случай 3. «1,25⁴⁴ ≈ 25 000».
Число названо «на глаз». На самом деле 1,25⁴⁴ — около 18 400. Вывод случайно не изменился: и 25 000, и 18 400 меньше 262 144. Но «≈» без оценки ничего не доказывает: окажись настоящее число больше 262 144, то же «≈» привело бы к неверному ответу.
В доказательстве вместо «≈» нужно «<» или «>» — и обоснование, почему именно так.