«=» эмнени билдирет?

Бир жип · 3-макала

Чыгарышат, бирок түшүнүшпөйт

Октябрда Бишкектеги алты класстын мугалимдери — 2-класстан 6-класска чейин — окуучуларга беш кыска тапшырмасы бар баракча беришти. Алардын эң негизгиси:

8 + 4 = □ + 5. Терезечеге кайсы санды жазуу керек?

Туура жооп — 7: сол жагында 12, демек, оң жагында да 12 болушу керек, ал эми 7 + 5 = 12.

73 окуучунун 7си 41 деп жазды. Дагы 17си 12 же «12 жана 7» деп жазды: «8 кошуу 4 — 12 болот, жоопту жазам». Үчөө 17 же 18 деп жазды — көргөндөрүнүн баарын кошуп салышты.

Салыштыруу үчүн: 1999-жылы ушул эле маселе Америкадагы Мэдисон шаарында 1–6-класстардын 752 баласына берилген. Ар бир класста туура жооп бергендер 0дөн 10 %га чейин болгон, ал эми бир мектептин 145 алтынчы класс окуучусунун баары 12 же 17 деп жазышкан. Биздин окуучулар бул маселени бир кыйла жакшы чыгарышат.

Бирок экинчи тапшырмада биз сурадык: «=» белгиси эмнени билдирет? Окуучу өз сөзү менен жазды, мугалим сөзмө-сөз көчүрүп алды.

• 73 окуучунун 34ү «=» — бул жооп, сумма же натыйжа деп жазды: «Бул мисалдын жообу да, жообу жок мисал болбойт», «Бул мисалды бүтүргөн же жоопту берген белги», «Мисалдагы акыркы сан».
• 7 окуучу эки жагы бирдей деп жазды: «Бул эки сандын барабардыгы», «Бул бирдей дегенди билдирет, же, мисалы, салмагы бирдей».
• Калгандары «бул барабар» деп, «3 + 4 = 7» деген мисалды жазышты же эч нерсе жазышкан жок.

Эми эң негизгиси. 5- жана 6-класстарда терезечеси бар маселени 14 окуучу туура чыгарды. Он төртөөнүн баары «=» белгисин жооп, сумма же натыйжа деп сүрөттөдү. Маселени алар чыгарышты, а белгини «бул жерге жооп жазылат» деп түшүнүшөт. Муну баа да, текшерүү иши да көрсөтпөйт: жооп туура болгондон кийин.

Бир жылдан кийин бул окуучуларга x белгинин эки жагында тең турган теңдеме жана жөнөкөйлөтүү керек болгон туюнтма берилет. Ошондо «бул жерге жооп жазылат» деген түшүнүк иштебей калат: белгини түшүнбөө теңдемелердеги да, өзгөртүп түзүүлөрдөгү да көп каталардын себеби.

Бир белги — алты жумуш

«=» белгиси 1-класстан 9-класска чейин мектеп дептерлеринде кандай жумуш аткараарын карап көрөлү.

1. Эсепте. 3 + 5 = 8. Алгачкы жылдары белги дээрлик дайыма ушундай көрүнөт: сол жагында амал, оң жагында натыйжа.
2. Бирдей деп ырастайм. 7 = 3 + 4; 3 + 4 = 5 + 2. Мындай жазууну текшерсе болот: ал туура же туура эмес.
3. Качан туура болорун тап. x + 5 = 12. Бул теңдеме. Белги бул жерде суроо берет: кайсы x болгондо эки бөлүгү барабар болот?
4. Дайыма туура. a + b = b + a; 2(x + 3) = 2x + 6. Бул теңдештик: ал каалаган сандар үчүн туура.
5. Мындай белгилейли. S = a · b; «a = 5 болсун». Бул формула же аныктама: белги белгилөөнү киргизет.
6. Уячага сал. Python тилиндеги программада x = x + 1. Бул буйрук: x ти ал, бирди кош, кайра жаз.

Эки жазууну караңыз:

2(x + 3) = 2x + 6

2(x + 3) = 14

Экөө дээрлик бирдей көрүнөт. Биринчиси каалаган x үчүн туура — бул теңдештик, аны далилдешет. Экинчиси x = 4 болгондо гана туура — бул теңдеме, аны чыгарышат. Жумушу таптакыр башка, а белги бирөө.

Математиканын өзү бул жумуштарды айырмалайт. Теңдештик үчүн ≡ белгиси, аныктама үчүн «:=» бар. Программисттер буйрук үчүн «=», «барабарбы?» деген суроо үчүн «==» деп жазышат. А мектепте мунун баары — бир эле эки сызыкча.

Көп маанилүүлүктүн өзү кырсык эмес. Кырсык — бул жөнүндө унчукпаганында. Окуучу бирдей белгини көрүп, анын мааниси бирөө деп акыл менен божомолдойт. А кайсы мааниси экенин тажрыйба айтып берет: «амал, барабар, жооп» деген миңдеген мисалдар. Изилдөөчүлөр 6–8-класстар үчүн америкалык окуу китептеринин төрт сериясындагы «=» белгиси бар жазууларды санап чыгышкан: белгинин эки жагында тең амал болгон жазуулар орто эсеп менен 5 % учурда гана кезиккен. Калган 95 % — «эсепте».

Мындай белги жалгыз эмес

Минус менен да окшош окуя. Анын үч жумушу бар, алар жөнүндө да адатта айтылбайт:

1. Кемит: 5 − 3 = 2.
2. Нөлдөн кичине сан: −3 — бул амал эмес, бир сан.
3. Карама-каршысын ал: −x. Эгер x = 5 болсо, анда −x = −5. А эгер x = −5 болсо, анда −x = 5, жана «минус икс» оң сан болуп чыгат.

Мындан −(−3) = 3, «минусту минуска көбөйтсө плюс болот» деген эреже жана «−x дайыма терс» сыяктуу каталар келип чыгат. Минуска сериянын өзүнчө чыгарылышын арнайбыз.

Эмне үчүн ушундай: КРдин программасы

Биз КАОнун документтерин — математика жана информатика боюнча предметтик стандарттарды жана программаларды салыштырып чыктык.

• 1-класста >, <, = белгилери жана «белгисиз компоненти бар барабардык» бар: □ + 4 = 7. Терезечени тандап табуу менен чыгарышат.
• 2–3-класстарда — жөнөкөй теңдемелер, 5-класста — сызыктуу теңдемелер. Аларды «белгисиз компоненттер аркылуу» чыгарышат: белгисиз кошулуучу сумма минус белгилүү кошулуучуга барабар.
• Барабардыктын касиеттери — «эки бөлүгүнө тең бирдей санды кошууга болот» — жана кошулуучуну которуу бир да документте аталган эмес.
• 6-класста теңдештиктер, 7-класста тең күчтүү теңдемелер пайда болот. Белги бирөө болсо, теңдештиктин теңдемеден эмнеси менен айырмаланары эч жерде өзүнчө айтылган эмес.
• 1–6-класстардын жаңы стандарты >, <, = белгилеринин өздөрүн да атабайт.
• Информатикада 7-класстан баштап өзгөрмөлөр жана программалар бар, а ыйгаруу (присваивание) бир да документте жок — орусча да, кыргызча да.

Натыйжада мындай болот. Белгини 1-класста киргизишет да, ага экинчи кайрылышпайт, бирок анын жумушу ар бир эки-үч жылда өзгөрөт. 5-класстагы «компоненттер аркылуу» ыкмасы «=» белгисин «бул жерге жооп жазылат» деп окугандарга да туура келет: белгисизди эреже боюнча таптың — бүттү. Ошондуктан 7-класска чейин түшүнбөстүктү эч ким байкабайт.

Кайсы жерде бузулат

x эки жагында тең турган теңдеме.

3x + 5 = x + 13

Бул жерде кайсы «белгисиз кошулуучу»? «Жооп» кайда? «=» белгиси «бул жерге жооп жазылат» дегенди билдирген окуучу эмнеден баштоону билбейт: оң жагында жооп жок, оң жагында кайра эле x.

«=» белгисин тараза катары окуган окуучу тең салмакта турган эки табакты көрөт. Эки табактан тең x ти алып салалы: 2x + 5 = 13. Экөөнөн тең 5тен алып салалы: 2x = 8. Эки бөлүгүн тең экиге бөлөлү: x = 4. Ордуна коюу менен текшерели: 3 · 4 + 5 = 17 жана 4 + 13 = 17. Табактар тең салмакта.

Кошулуучуну которуу — ырым катары. 7-класста ушул эле чыгарылышты кыскараак жазышат: 3x − x = 13 − 5. «Кошулуучуну экинчи бөлүгүнө которобуз жана белгисин өзгөртөбүз». Эмне үчүн өзгөртөбүз? Тараза жөнүндө билген окуучу жооп берет: биз эки табактан тең 5ти алып салабыз, жөн гана муну кыскараак жазабыз. Таразаны билбеген окуучу эрежени жаттап алат да, кайсы белгини жана кайсы тарапка өзгөртүүнү чаташтырат.

Барабардыктардын чынжыры. Окуучу 25 + 15 + 7 ни эсептеп, мындай жазат:

25 + 15 = 40 + 7 = 47

Ар бир кадамды ал туура эсептеди, бирок жазуу туура эмес: 25 + 15 47ге барабар эмес. Ал үчүн «=» «андан ары мындай болот» дегенди билдирет. Мугалим оңдоп коёт, бирок эмне үчүн экенин түшүндүрбөсө, ката кайра кайталанат.

Туюнтмаларды өзгөртүп түзүү. «Жөнөкөйлөткүлө: 2(x + 3) + 4x». Окуучу мындай жазат:

2(x + 3) + 4x = 2x + 6 + 4x = 6x + 6

Бул жерде ар бир «=» — теңдештик: үч жазуунун баары каалаган x үчүн барабар. Бирок окуучу белгини «кийинки кадамдын натыйжасы» деп окуйт — 25 + 15 = 40 + 7 чынжырындагыдай эле. Кадамдар туура болуп турганда айырмасы көрүнбөйт. Ал каталарда көрүнөт:

• «Жөнөкөйлөткүлө: x/2 + x/3». Окуучу теңдемедегидей «бөлүмдөрдөн кутулат» — 6га көбөйтүп, x/2 + x/3 = 3x + 2x = 5x деп жазат. Бирок 6га теңдеменин эки бөлүгүн тең көбөйтүүгө болот, ал эми туюнтма көбөйтүүдөн өзгөрөт: x/2 + x/3 = 5x/6, 5x эмес. Окуучу үчүн теңдемедеги «=» менен өзгөртүп түзүүдөгү «=» — бир эле «андан ары мындай болот», ошондуктан ыкмаларды да биринен экинчисине көчүрөт.
• Тескери ката — теңдемени өзгөртүп түзүү сыяктуу чынжыр менен жазышат: 2x + 5 = 13 = 2x = 8 = x = 4. Чыгарылыштын ар бир сабы туура, а бүт жазуу 13 = 8 = 4 деп ырастайт.
• «3x + 6 ны жөнөкөйлөткүлө» — окуучу 3x + 6 = 0, x = −2 деп жазат. Өзү койгон белги туюнтманы теңдемеге, маселени — башка маселеге айлантты.

Эреже бирөө: өзгөртүп түзүүдө ар бир «=» жаңы жазуу тамгалардын каалаган маанилеринде мурунку жазууга барабар деп ырастайт. Ошондуктан туюнтманын маанисин өзгөрткөн амал — баарын 6га көбөйтүү, бөлүмдү таштап салуу — өзгөртүп түзүүдө тыюу салынган. Теңдемеде ушул эле амалга уруксат, эгер аны эки бөлүгү менен тең аткарса.

Ордуна коюу менен текшерүү. Теңдемени чыгардың — жоопту ордуна коюп, бөлүктөрү барабарбы, карап көр. Бул кеңештин мааниси «=» белгисин «эки бөлүгү барабар» деп түшүнгөн окуучу үчүн гана бар. Калгандары үчүн текшере турган эч нерсе жок: жооп жазылып калган.

Теңдештик жана теңдеме. «2(x + 3) = 2x + 6 экенин далилдегиле» — окуучу аны теңдеме катары чыгарат: 2x − 2x = 6 − 6, 0 = 0… жана эмне болуп чыкканын түшүнбөйт. Ушул эле белги бул жерде «каалаган x үчүн туура» деп ырастаарын ага эч ким айткан эмес.

Бул канчалык олуттуу экенин 2006-жылы АКШда 6–8-класстардын 177 окуучусунда текшеришкен. «=» белгисин «эки бөлүгү бирдей» деп түшүнгөндөр ар бир класста 31ден 43 %га чейин болгон. Жана алар 4m + 10 = 70 теңдемесин көбүрөөк чыгарышкан — математика боюнча жалпы деңгээлди эске алганда да бул байланыш сакталган.

Эмне кылуу керек

Эң негизгиси — көп маанилүүлүктү ачык айтуу. Окуучуга түз айтуу: бул белгинин бир нече жумушу бар, жана ар бир жолу ал азыр кайсы жумушту аткарып жатканын түшүнүү керек. Жана белгинин жумушу өзгөргөн сайын буга кайра кайрылып туруу.

1–2-класс: «сол жагы менен оң жагы бирдейби?»

• Жооп сол жагында: 7 = 3 + 4. Туурабы? Туура: жети жана үч кошуу төрт — бир эле сан.
• Эки жагында тең амалдар: 3 + 4 = 5 + 2. Ар бир жагын эсептейли: 7 жана 7.
• Амалсыз барабардык: 12 = 12.
• Терезече жана эки жагында тең амалдар: 8 + 4 = □ + 5; 9 + 6 = □ + 10; 20 − 5 = □ − 3.
• Туурабы же туура эмеспи: 6 + 2 = 4 + 4; 5 + 3 = 8 + 1; 10 = 10 − 0.

Ар бир жолу бир суроо: сол жагы менен оң жагы бирдейби? Жана табактуу тараза. 2008-жылдагы эксперимент: 28 = 28 сыяктуу жазуулар менен окутулган экинчи жана үчүнчү класстын окуучулары кийин 3 + 9 + 5 = 6 + □ сыяктуу маселелерди адаттагыдай 15 + 13 = 28 менен окутулгандарга караганда жакшыраак чыгарышкан. Давыдовдун программасында биринчи класстын окуучулары адегенде тараза менен узундуктарды жана массаларды сансыз теңештиришет, андан кийин гана белгини жазышат.

Бул сүрөттү биздин окуучулардын өздөрү айтып беришти: «салмагы бирдей» деп төртүнчү класстын окуучусу жазды.

3–4-класс: чынжырлар. 25 + 15 = 40 + 7 = 47 жазуусундагы катаны таап, туура жазуу: 25 + 15 = 40, 40 + 7 = 47. Же 25 + 15 + 7 = 40 + 7 = 47 — бул жерде ар бир «=» барабар сандардын ортосунда турат.

5-класс: эки ыкма. «Компоненттер аркылуу» ыкмасынын жанында — эки бөлүгү менен тең бирдей амалдар. Адегенде сандар менен: 8 + 4 = 7 + 5; эки бөлүгүнөн тең 5ти кемитебиз — 7 = 7, барабардык сакталды. Андан кийин теңдемелер менен: 8 + 4 = x + 5 → 12 = x + 5 → 7 = x. Ошондо 7-класста 3x + 5 = x + 13 теңдемеси ушул эле кыймыл менен чыгарылат.

6–7-класс: кайсы жумуш? Жазуунун ар бир жаңы түрүнүн алдында суроо: белги бул жерде эмне кылып жатат — ырастап жатабы, сурап жатабы, дайыма туурабы, белгилөө киргизип жатабы? 2(x + 3) = 2x + 6 жана 2(x + 3) = 14 — катар коюп, талкуулоо. Өзгөртүп түзүүлөрдө — кадамды ордуна коюу менен текшерүү: x = 1 болгондо x/2 + x/3 туюнтмасы 5/6га барабар, а 5x 5ке барабар, демек, кадам туура эмес.

Информатика: ыйгарууну атоо. x = x + 1 барабардык катары — маанисиз нерсе: сан өзүнөн бирге чоң боло албайт. Буйрук катары — жөнөкөй нерсе. Паскалдын автору Никлаус Вирт Фортрандан келген ыйгаруу үчүн «=» белгисин жаман идеянын белгилүү мисалы деп атаган. Ошондуктан Алголдо жана Паскалда ыйгарууну «:=» деп жазышат, а C жана Python тилдеринде салыштыруу үчүн «==» киргизилген. «=» белгисинин бир нече жумушу бар экенин билген окуучуга аларды айырмалоо оңой.

Бир аз тарых

XVI кылымга чейин барабардыкты сөз менен жазышкан: aequales, faciunt, gleich. 1557-жылы уэльстик дарыгер жана математик Роберт Рекорд узундугу бирдей эки параллель сызыкты сунуштаган — анткени, анын сөзү боюнча, эч кандай эки нерсе мындан барабарыраак боло албайт. Рекорд эки бөлүктүн барабардыгын тарткан: бирдей эки сызык — бирдей эки тарап. Калган жумуштарды белги кийинчерээк алган.

Эртеңкиге суроо

Класска 8 + 4 = □ + 5 маселесин берип, «=» белгиси эмнени билдирерин жазып берүүнү сураңыз. Баары туура чыгарса да, экинчи суроого берилген жооптор окуучулардын кимиси x эки жагында тең турган теңдемелерге даяр экенин көрсөтөт.

Жип эмнеге таянат

YourAIZone платформасында:

• «=» эмнени билдирет, 8 + 4 = □ + 5 маселеси жана тараза — «Сандык туюнтмаларды салыштыруу» сабагы: Сандык туюнтмаларды салыштыруу
• эки бөлүгү менен тең бирдей амалдар жана кошулуучуну которуу — «Сызыктуу теңдемелерди чыгаруу» сабагы: Сызыктуу теңдемелерди чыгаруу

Текшерүүнүн маалыматтары: 2–6-класстардын 73 окуучусу, Бишкектин алты классы, 2026-жылдын октябры. Бул статистикалык изилдөө эмес, мугалимдердин байкоосу.

Булактар

1. Falkner, K. P., Levi, L., & Carpenter, T. P. (1999). Children's understanding of equality: A foundation for algebra. Teaching Children Mathematics, 6(4), 232–236. https://academic.sun.ac.za/mathed/174/AlgebraNCTM.pdf
2. Knuth, E. J., Stephens, A. C., McNeil, N. M., & Alibali, M. W. (2006). Does understanding the equal sign matter? Evidence from solving equations. Journal for Research in Mathematics Education, 37(4), 297–312. https://doi.org/10.2307/30034852
3. McNeil, N. M., Grandau, L., Knuth, E. J., Alibali, M. W., Stephens, A. C., Hattikudur, S., & Krill, D. E. (2006). Middle-school students' understanding of the equal sign: The books they read can't help. Cognition and Instruction, 24(3), 367–385. https://doi.org/10.1207/s1532690xci2403_3
4. McNeil, N. M. (2008). Limitations to teaching children 2 + 2 = 4: Typical arithmetic problems can hinder learning of mathematical equivalence. Child Development, 79(5), 1524–1537. https://doi.org/10.1111/j.1467-8624.2008.01203.x
5. Venenciano, L., & Dougherty, B. (2014). Addressing priorities for elementary school mathematics. For the Learning of Mathematics, 34(1), 18–24. https://flm-journal.org
6. Wirth, N. (2006). Good ideas, through the looking glass. Computer (IEEE), 39(1), 28–39. https://doi.org/10.1109/MC.2006.20
7. Recorde, R. (1557). The Whetstone of Witte. London.
8. КР КАО. «Математика» предметтик стандарты, 1–6-класстар (2025): kao.kg; «Математика» предметтик стандарты, 1–4-класстар (2022): kao.kg; «Математика» предметтик стандарты, 5–11-класстар (2022): kao.kg; «Информатика» предметтик стандарты, 5–9-класстар (2023): kao.kg